组合计数

组合计数-专题

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· 模运算

性质：

1. (a + b)%p=(a%p + b%p)%p

2. (a b)%p=((a%p)(b%p))%p
   【性质不适用于==除法==】

   除法处理方式：
   公式：(b/a)%p=(b*a^(p-2)^)%p

   例题（A/B-HDU-1576）

   题目：
   要求(A/B)%9973，但由于A很大，我们只给出n(n=A%9973)(我们给定的A必能被B整除，且gcd(B,9973) = 1)。

样例输入：
2
1000 53
87 123456789

样例输出：
7922
6060

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;

int mod(int n,int b,int mod)
{
    int ans=1;
    long long b1=1;
    for(int i=0;i<9971;i++)
    {
        b1=(b1*b)%mod;
    }
    ans=(n*b1)%9973;
    return ans;
}

int main()
{
    int n,b;
    int t;
    int ans;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        cin>>n>>b;
        ans=mod(n,b,9973);
        cout<<ans<<endl;
    }

    return 0;
}

o(´^｀)o ~ 此处有待更新

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·组合数求法

1. 杨辉三角：C(n,m) = C(n-1,m) +C(n-1,m-1)
2. 公式：C(n,m)=n! / m! / (n-m)!
   【大约 20！就到达了10^18^】

思考：
通常题目中的数据不会小于20，该如何避免强行计算阶乘 。

例题（Divisors-POJ-2992）

题目：
Your task in this problem is to determine the number of divisors of C(n,k). Just for fun — or do you need any special reason for such a useful computation?

Input：
The input consists of several instances. Each instance consists of a single line containing two integers n and k (0 ≤ k ≤ n ≤ 431), separated by a single space.

Output：
For each instance, output a line containing exactly one integer — the number of distinct divisors of C(n,k). For the input instances, this number does not exceed 2^63^ - 1.

样例输入：
5 1
6 3
10 4

样例输出：
2
6
16

思考：

1. 避开计算C(n,k)
2. 打表素数
3. 整数 n 的拆分: n=p~1~^a1^ p~2~^a2^ p~3~^a3^… p~m~^am^
4. 计算指数：a~1~ = n / p~1~ + n / p~1~^2^ + n / p~1~^3^+…
5. n! 的因子个数：(a~1~+1) (a~2~+1) … * (a~m~+1)
6. C(n,k)=n! / k! / (n-k)! 的因子数：
   [(a~1n~-a~1k~-a~1(n-k)~)+1] [(a~2n~-a~2k~-a~2(n-k)~)+1] … * [(a~mn~-a~mk~-a~m(n-k)~)+1]

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;

int primenums[450];

void prime()
{
	//打表
    int cot=0;
    for(int i=1;i<=450;i++)
    {
        int flag=1;
        if(i==1||i==2)
        {
            primenums[cot]=i;
            cot++;
        }
        else
        {
            for(int j=2;j<=sqrt(i);j++)
            {
                if(i%j==0)
                {
                    flag=0;
                    break;
                }
            }
            if(flag==1)
            {
                primenums[cot]=i;
                cot++;
            }
        }
    }
}

long long coot2(int n,int p)
{
    //计算指数个数
    int ans=0;
    while(n>1)
    {
        ans=ans+n/p;
        n=n/p;
    }

    return ans;
}


long long coot1(int n,int k)
{
    //计算约数个数
    long long ans=1;
    int i=1;
    while(primenums[i]<=n)
    {
        ans=ans*(coot2(n,primenums[i])-coot2(k,primenums[i])-coot2(n-k,primenums[i])+1);
        i++;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    int n,k;
    long long ans;
    prime();
    while(scanf("%d%d",&n,&k)==2)
    {

        ans=coot1(n,k);
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}